2025年6月30日

 

　高校1年生のとき、私は演劇に参加していた。公演の本番が控えた週であり、全員で通し稽古をしていたため、毎晩遅くまで残って練習していた。演目は法廷劇で、私は検視官の役を演じていた。最初の証人として登場する役だったが、この芝居は全編が一つの長いシーンで構成されていたため、私は法廷内の席に戻った後、終幕まで舞台に居る必要があった。リハーサルではほとんどの場合、自分の出番の終了後は舞台上に立っている必要がなかったため、立っている必要がなかった。しかし、この週は通し稽古のため、本番と同じように進める必要があった。つまり、舞台上にずっといる必要があった。この週は芝居をした後に夕食をとり、また芝居をする日々の繰り返しだった。リハーサルが終わるのは夜遅くのときもあった。

　この話をしようと思ったのは、その週、私は宿題をまったくやらなかったためだ。いつもは私が参加していないシーンの稽古中に舞台裏で宿題をこなしていたのだが、この週はずっと舞台におりできなかったのだ。普段の私は真面目な生徒だったため、宿題をやらないのは珍しいことであり、できなかったことをちょっと気にしていた。そのため、数学の授業中にこのことを教師に指摘された際に理由を率直に明かすのではなく、皮肉めいた発言をしてしまった（これも私の珍しい行動だ）。「数学なんて将来使いませんから。」と。

　数学の教師はただ微笑んで、こう言った。「みんな、数学何て必要ないと思っているの。でも本当のことを言うと、結局、必要になるのよ。」

　私は口には出さなかったが、心の中ではこう思っていた。「いや、僕は作家になるから要らないんだ。給料とページ数を数えるだけでいいんだ。」

　これが映画だったなら、あるシーンはこう始まるだろう。「43年前」と下部に表示されてから、それが「現在」に変わり「マジック：ザ・ギャザリング」主席デザイナーの姿へと移り変わる。私は顔を手で覆いながら、コンピュータの画面を見つめ、こうつぶやく――「どうしてこんなに数学が必要なんだ……？」

　結果的に、数学の先生の言葉は正しかった。私は数学が必要なだけでなく、「非常に多くの」数学が必要となったのだ。想像以上に遥かに多くの数学が。今日の記事のテーマは、数学である。『マジック』のデザイナーが日々数学をどのように扱っているか、さまざまな実例について語るものである。これは若い読者への警鐘でもある。数学は、皆が想像する以上に重要になる。宿題は、ちゃんとやっておこう。

 

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開封比

　『マジック』はトレーディングカードゲームである。プレイヤーがこのゲームを購入する際、最も一般的なのはブースターパックを買うという形である。ブースターパックには一定枚数のカードが封入されており、それぞれのカードには異なるレアリティが設定されている。我々がプレイヤーにどのカードが届くかを直接制御することはできないが、プレイ環境をコントロールすることは可能である。これが複雑になるのは、「リミテッド」という人気のフォーマットが存在するためである。リミテッドでは、プレイヤーは未開封のブースターから得たカードだけを用いてプレイする。

　たとえば「モノポリー」のようなボードゲームであれば、購入したすべての人が同じ内容物を手にする。すなわち、同じボード、同じ不動産カード、「チャンス」カードや「共同基金」のカード、プラスチック製の家やホテル、プレイヤー用の駒などである。「モノポリー」のゲームデザイナーは、すべてのプレイヤーが同じゲームピースを用いることを前提としてゲームを設計できる。だが『マジック』では、プレイヤーが開封するカードの内容を正確に把握することはできない。

　とはいえ、プレイヤーが何を引くかについてまったく制御できないわけではない。我々は、プレイヤーが特定のゲーム要素に遭遇する「確率」を制御している。たとえば、新たなクリーチャー・メカニズムとして「荘厳/awesomeness」を導入したとしよう。プレイヤーがこの能力を持つクリーチャーを引くかどうかは分からないが、平均的に見て、1パックのプレイ・ブースターでどの程度このメカニズムを持つクリーチャーが出現するかは把握できる。荘厳を持つクリーチャーを多く封入すればするほど、それらが開封で出てくる確率は高くなる。また、レアリティも出現頻度を左右する要素である。たとえば、「荘厳」を持つクリーチャー同士でも、コモンであればアンコモンよりもプレイ・ブースターから多く出現する。

 

　では、どうやってその確率を計算しているのか？ あるゲーム要素がブースターパック内にどの程度の割合で出現するかを知るために使っているのが、開発部で「開封比/as-fan」と呼ばれる数値である。「as-fan」は「扇状に広げる/as-fanned」の略称であり、ある効果やメカニズムが製品内にどれくらい含まれているかを示す指標である。具体的には、特定の性質を持つカードがセット内に何枚あり、それぞれのレアリティがどうなっているかをもとに、各レアリティの枚数を計算する。これにより、数値が得られるのである。

　たとえば荘厳の開封比がプレイ・ブースターにおいて1.5であれば、それは平均して1パックに1.5枚の荘厳持ちクリーチャーが含まれていることを意味する。もちろん0.5枚のカードなど存在しないが、これは統計的な平均値であり、個々のパックに必ずしもその通り含まれているわけではない。たとえば、ある2パックのプレイ・ブースターのうち一方に1枚、もう一方に2枚の荘厳持ちカードが含まれていた場合、その平均値は1.5となる。

　開封比の値は、プレイヤーがあるゲーム要素とどれほどの頻度で関わるかを測るために重要な指標となる。『マジック』には膨大なカードが存在しており、各セットにおいて開封比を記録しているため、過去のセットと比較することで現在のセットが適切な水準にあるかどうかを判断できる。開封比の計算に興味がある読者は、今年の「基本根本 #17：自身のメカニズムを見つけ出す その2」で計算方法を解説している。もちろんプレイテストによる最終確認は必要だが、開封比はあるべき数値に近づくための助けとなっている。

　なお開封比に加えて「プレイ比/as-played」と呼ばれる統計値も参照している。これは開封比に似ているが、そのカードが実際にどれだけプレイされるかという期待値を加味した指標である。例えば、荘厳能力を持つカードがブースターに多く封入されていても、それが弱ければ実際のゲームではあまり使われず、プレイ比は高くならない。

印刷順

　『マジック』のカードは、実際にどのように製造されているのか？ カードは世界各地の印刷所で印刷されている。では、具体的にどうやって印刷しているのか？ 通常の『マジック』のカードのサイズは、これらの大型印刷機にとっては小さすぎる。そのため、我々はまず多数のカードが並んだ大判のシートを印刷し、それを後からカードサイズに裁断するという方式をとっている。使用される印刷シートには主に2種類のサイズがあり、それぞれ「110」と「121」と呼ばれている。前者は「10×11」、後者は「11×11」の配置である。最初の数字はシートの縦方向に並ぶカード枚数、後の数字は横方向の枚数を示している。

 

　通常、基本土地、コモン、アンコモンはそれぞれ専用の印刷シートを用いる（大体の場合は更に複数シートに分かれて印刷）。一方、レアと神話レアのカードは同じシート上に配置され、レアは1シートにつき2回登場し、神話レアは1回のみ登場するという比率で構成される。我々がセット内に収録するカードの枚数は、こうしたシート上の配置を基に決定されている。例えば、現在は121枚のシートが主流である。多くのセットにコモンカードが80枚収録されているのは、80枚のコモンを3グループ用意すれば、80×3=240のため、2シート分のスペース（120×2）に収めることができるためである。

　一部のセットには、追加の印刷シートを必要とする要素が含まれている。両面カードはその典型例である。これらのカードは、第1面と第2面の印刷方式が通常の片面カードとは異なるため、同じシートに混在させることができない。ゆえに、それ専用の追加シートをセットに加える必要がある。この追加は、既存のカード枠を置き換えるものではなく、新たにカードの枚数を増やすという形になる。そのため、両面カードを含むセットは、全体としてカードの収録枚数が多くなる傾向にある。

 

　なお、ここではまだフォイル仕様のカードやブースター・ファン版のカードについては触れていない。どのカードがどのシートに収まるか、そしてそれを最適に印刷するためにはどのような配置が可能かを判断するには、非常に多くの計算が必要なのである。セットのデザイン・リードは、こうした制限を十分に理解していなければならない。そうすることで、何が実現可能であり、何が不可能であるかを判断できるようになる。たとえば私が現在取り組んでいるセットでは、あるクールな要素をセットに収録するために、印刷順の設計そのものを全面的に見直す必要があった。

　だが、数学はこれだけでは終わらない。

ブースター数学

　カードを印刷するシートができたからといって、それで作業が終わるわけではない。カードをセットに正しい割合で封入する方法を決定する必要がある。その方法は、印刷所でブースターパックがどのように製造されるかに基づいている。カードは「カードフィーダー」と呼ばれる装置に投入され、そこから一定枚数のカードがブースターに振り分けられる。たとえば、スロット1から6がコモンカード用である場合、コモンの印刷シートを裁断したカードがそのフィーダーに投入される。一つのフィーダーから6枚すべてを取り出すこともあれば、複数のフィーダーから合計6枚が供給されるよう設定することもある。複数のフィーダーを使用することでランダム性を高めることができる。ブースターパック内の各スロットは、それぞれ特定のシート及びそのシートの特定のタイプのカードが割り当てられている。

　しかし、すべてのスロットが特定のシート専用というわけではないため、話はさらに複雑になる。例えばプレイ・ブースターには「ワイルドカード・スロット」があり、これは複数のレアリティからカードを引き出せるようになっている。どのレアリティのカードをどれくらいの確率で割り当てるかは、フィーダーに接続されたコンピュータに入力されており、それに基づいて適切なシートが適切な頻度でスロットに供給されるようになっている。この仕組みは、開封比を算出するうえでも重要である。なぜなら、特定のレアリティがブースター内の何スロットを占めるのかを把握しなければならないからである。こうした仕組みによって、レアリティのスロット数が整数ではなく小数になることがある。たとえば、6つのスロットには常にコモンカードが入るが、それ以外のスロットにもときどきコモン1枚が入る可能性があるためである。

　デザイン側もまた、特定のテーマのために専用スロットを設けることで、このブースター数学に影響を与えることがある。たとえば『イニストラード』には両面カード専用スロットが存在し、『ドミナリア』には伝説のクリーチャー専用スロットがあった。『機械兵団の進軍』ではバトル専用スロットが設けられていた。こうした専用スロットは、セットのテーマを際立たせるために追加されることが多い。スロットを固定することで、そのテーマの開封比を高めることができ、もしそのサブセットが単一のシートから供給されている場合には、開封比を確実に1にすることができる。例えば『イニストラード』の両面カードは開封比が1であると同時に、「パックに必ず1枚存在する」保証もされていた。なぜなら、両面カードはその専用スロットからしか出現しなかったためである。

 

　『マジック』のセットをデザインする際には、開封比、印刷順、そしてブースター数学を常に意識しておかなければならない。これらはすべて密接に結びついており、結果として非常に多くの計算が必要となるのである。

効果

　ここまでは、全体の構造的な設計に数学を用いる話をしてきたが、個々のカード・デザインにおいても、数学は頻繁に登場する。例えば「ライブラリーの上からN枚を見て、特定のタイプのカードを1枚手札に加える」カードをデザインしたいとしよう（ここでの「N」は、後で数値を決めるという意味の開発部語である）。では、そのNをどう決定するのか？――数学で決めるのである。仮に探しているのが土地カードだったとする。一般に、土地はデッキの約40%を占める。これをもとに、Nの値ごとに土地が1枚以上含まれている確率を計算することができる。

• N=1ならば、40%の確率である。
• N=2ならば、64%の確率である。
• N=3ならば、78.4%の確率である。
• N=4ならば、87.04%の確率である。
• N=5ならば、92.22%の確率である。

　このように、カードの「レート」（開発部用語で効果の強さとコストとの相関）を想定して、適切なNの値を決定することができる。ただし、話がより複雑になるのは、対象が土地以外のカード・タイプになるときである。土地は多くのデッキで一定の割合を占めるが、他のタイプはそうとは限らない。したがって、単に平均的な採用率を計算するだけでなく、カードの条件を満たすことに特化したデッキが組まれた場合のパワーレベルについても考慮しなければならない。

 

　このように、可変する変数を持つカードは非常に多い。場合によっては、メカニズム全体が可変要素と関係することもある。それらを適切に調整するためには、やはり数学的検討が欠かせない。

　さらにカード・デザインにおいて重要なのは『マジック』というゲーム自体が数学に満ちているという事実である。例えば良い攻撃のタイミングを判断するには、与えるダメージと受けるダメージの比較といった数値的な分析が求められる。攻撃せずにブロッカーとして残すといった戦略的価値も絡んでくるため、この計算はしばしば非常に複雑になる。新しいカードのテストは実際にプレイして確認する必要があるが、プレイテストの段階でもゲームプレイにおける数学が多分に関わってくる。あるカードやメカニズムが機能しているかどうかを見極めるには、ゲームプレイに潜む数学を理解することが非常に重要なのである。

マナ・カーブとコスト

　デザインにおけるもうひとつの重要な構造的要素は、テーマやアーキタイプがリミテッドと構築の両方のフォーマットにおいて成立するように設計することである。ゲームの各段階においてプレイヤーが行動できるようにしなければならない。これを我々はマナ・カーブと呼んでいる。理想としては、各デッキが毎ターン何かしらの行動を取れるように構成されているべきである。デッキは一般的に低コストのカードに偏る傾向がある。なぜなら、終盤になればそうしたカードを複数枚唱えることが可能だからである。高コストのカードは序盤に手札にあってもプレイできず、停滞の原因となってしまう。

　カードのコストを設定する際には、バランスを取る必要がある。カードの効果に対してマナ・コストが適切でなければならない。コストが安すぎれば、そのカードは壊れた性能となり、フォーマットに悪影響を与えるおそれがある。逆に、コストが高すぎれば使い物にならず、誰からも採用されないだろう。個々のカードのバランスを取ること、そして同じ色に属するカード群全体でのマナ・カーブを整えること――この二つを両立させるのは非常に難しい作業である。カードには他にも数値が含まれている。例えばクリーチャーであれば「パワー」と「タフネス」である。これらの数値も調整要素となり、適正なマナ・コストの導出に用いられる。こうした全体の仕組みは、すべて数学に基づいて構成されている。

 

　すなわち、『マジック』のカードをデザインするとは、膨大な数値を決定し、そしてそれに伴う多くの計算を行うことで成り立っているのである。

内部データ

　カードを作成したら、それをテストする必要がある。各プレイテストからはデータが得られるが、そのデータセットは小規模であるため、統計的に有意とは言えない（この点については後述する外部データの方が有意である）。プレイテストで得られるデータは、主に我々が「方向性指標/directional input」と呼ぶ目的で使用される。例えば特定の色がどれほどプレイされているかといった大局的な傾向を把握する手助けとなる。これにより、色のバランスに偏りがないかを検証することができる。各セットは1回以上の「プレイデー」を実施している。これは部門全体が通常業務を一時中断し、セットのプレイに専念してストレステストを行うものである。プレイデーは、社内データの中でも最大規模のサンプルが得られる場である。

　加えて、我々は特定のカード（主にレアや神話レア）やメカニズムに対する印象を尋ねるアンケートを実施している。プレイデーでは、ゲームに含まれるさまざまな要素に対する参加者の印象を収集することも可能である。すべてのデータはスプレッドシートにまとめられ、過去のセットから収集された過去データと比較される。この比較によって、プレイヤーの第一印象を把握できるほか、特別な注意を要する問題点を浮き彫りにすることもできる。

 

外部データ

　セットが発売されると、膨大な量のデータが流れ込んでくる。これは、プレイヤーの数が圧倒的に多くなるためである（開発部の十数人に対し、実際のプレイヤーは数百万人）。またデジタル・フォーマットでプレイする人も多く、そこから詳細で定量的なプレイデータを収集できる点も大きい。我々の標準的なプロセスの一環として、事後分析がある。これはセットがさまざまなフォーマット、特にリミテッドでどのように機能したかを振り返るものであり、社内での予測が実際のプレイ環境とどれほど一致していたかを検証することができる。

　また、社内で実施しているアンケートと同様に、社外で市場調査も行っている。プレイヤーに対してセット全体のあらゆる要素について意見を尋ね、その回答を集めている。こうして得られた外部データも、過去のセットと比較できる形で集計される。私の「ストーム値」記事で特定のメカニズムがどれほど評価されたかを記載しているが、あれはこの外部データに基づいている。

　だが、まだまだデータは存在する。売上データも取得できるし、実際のプレイ回数も測定可能である。さらに、ソーシャル・メディア上でのトレンドも追跡できる。新セットを発売するたびに、非常に多くのデータが生成されるのだ。これらのデータを分析することで、そのセットがどのように機能したかをより正確に把握でき、次回以降の開発において繰り返すべき点、調整すべき点、避けるべき点を学ぶことができる。ここで注意すべきなのは、私がSNSやブログを通じて受け取る無数の体験談との違いである。それらが重要でないとか、価値がないと言いたいわけではない。しかし今日のテーマは数学であり、そうした声は統計的に有意なデータとは見なされないのである。

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その他すべて

　今回は『マジック』のデザイナーが用いる数学に焦点を当てたが、実際にセットを作るにはさらに多くの数学が必要となる。他部門のスタッフは、印刷部数（セットごとにどれだけ製品を印刷するか）を算出し、必要な印刷機の台数を決定し、世界同時発売に向けて各地に製品を届けるための物流システムを構築し、フォイル仕様カードやブースター・ファンのカードの割合を計算する……といった作業を行っている。例を挙げればきりがない。実際、『マジック』には専属の経済学者が付いており、収集されたすべてのデータを分析する専門チームも存在している。彼らの仕事は、我々がデータを適切に理解できるようにすることにある。要するに『マジック』を作るあらゆる人間が「数学」を必要とされるのだ。

　今回は以上となる。マジックのデザインにおける数学的側面を見て、楽しみ、有益な情報が見つかっていれば幸いだ。今日の記事や私が紹介した内容への感想やフィードバックをメールやソーシャル・メディア（X、Tumblr、Instagram、Bluesky、TikTok）を通じて（英語で）送ってもらえると幸いだ。

　来週は『久遠の終端』のプレビューが始まる。是非ご覧あれ。

　それまでは子供たちよ、数学の宿題を忘れずにやってくれ。

(Tr. Ryuki Matsushita)